Ecuații diferențiale și ecuații cu derivate parțiale

Lucrarea de față se adresează studenților care învaţă discipline matematice în universități, inginerilor sau cercetătorilor interesați de modelarea fenomenelor cât și a proceselor din natură cu ajutorul ecuațiilor diferențiale și al ecuațiilor cu derivate parțiale. Adesea problemele practice conduc la ecuații diferențiale sau la ecuații cu derivate parțiale care, fie nu pot fi rezolvate folosind metodele cunoscute, fie soluțiile lor au expresii foarte complicate. În aceste situații este preferabil să se utilizeze metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale sau a ecuațiilor cu derivate parțiale. Metodele numerice fac parte deasemenea din disciplinele fundamentale de pregătire a studenților din domeniul ingineriei.

Un rol important în formarea viitorului specialist în științe inginerești este adaptarea programei de studiu la cerințele pieței. Se urmărește asigurarea cunoștințelor de baza privind ecuațiile diferențiale și cu derivate parțiale dar și a metodelor analitice și numerice de rezolvare a acestora, necesare cursurilor de specialitate: fizică, mecanică, vibrații, element finit, inginerie, elasticitate etc.

Pentru ingineri, scopul de a învața teoria ecuațiilor diferențiale este de a fi în măsură să rezolve problemele practice în cazul în care se utilizează ecuații diferențiale. Numeroase fenomene și procese din natură se modelează matematic prin ecuații diferențiale sau prin ecuații cu derivate parțiale. Oamenii de știința și inginerii trebuie să știe cum să modeleze lumea în termeni de ecuații diferențiale și ecuații cu derivate parțiale, cum să rezolve aceste ecuații și cum să le interpreteaze soluțiile. Iată câteva dintre aplicațiile lor în domeniul științei și ingineriei: mișcarea unui punct material într-un câmp conservativ, vibrațiile unui sistem oscilant, căderea liberă a corpurilor, deplasarea unei membrane elastice sub acțiunea unei încărcări continue, propagarea căldurii într-o bara, dezintegrarea radioactivă, creșterea populației, diverse reacții chimice, etc.

Lucrarea încearca să fie concisă și accesibilă prin simplificarea expunerii fără a pierde din rigoarea matematică și demonstreaza rolul ecuațiilor diferențiale și al ecuațiilor cu derivate parțiale în rezolvarea unor problemelor tipic inginerești. Acestea sunt realizate în patru etape:

1) Problema fizică

2) Modelul matematic: Stabilirea ecuației diferențiale care stă la baza problemei bazată pe principii fizice și proprietățile geometrice.

3) Determinarea soluției:

-   identificarea tipului ecuației diferențiale și a metodei de rezolvare

-   determinarea  soluțiilor  generale  și  apoi  a  celor  particulare  (se  determină constantele arbitrare) folosind condițiile inițiale sau la limită.

4) Interpretarea ei fizică

Lucrarea are un pronunțat caracter didactic organizat în nouă capitole, în care noțiunile teoretice prezentate sunt însoțite de exerciții rezolvate, iar fiecare capitol se încheie cu un set de probleme propuse spre rezolvare.

Sunt abordate următoarele teme: “ Ecuații diferențiale ordinare”, ”Ecuații cu derivate parțiale”, “Analiza Fourier”, “Metode numerice” pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale și a ecuațiilor cu derivate parțiale, subiecte care fac obiectul cursurilor de Matematici Speciale sau Metode numerice din universitățile de profil tehnic.